Persamaan Diferensial Adalah – Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal Secara Lengkap

Table of Contents

Pengertian Diferensial

Turunan fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tak beraturan. Turunan ( diferensial ) dipakai sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman.

Baca Juga: Vaksin Adalah - Fungsi, Jenis, Cara Kerja Beserta Efek samping Dari Vaksin Secara Lengkap

Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial merupakan persamaan dalam ilmu matematika untuk suatu fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunnya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting di dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu lainnya.

Gambaran aliran udara ke dalam saluran dimodelkan sesuai persamaan Navier Stokes.

Persamaan diferensial ini muncul didalam berbagai macam bidang sains dan teknologi,

Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan laju perubahannya (dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan.

Ini akan terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diberikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu.

Hukum Newton memungkinkan kita untuk mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagaia gaya  yang bertindak terhadap suatu benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyaknya kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.

Contoh persamaan diferensial pada suatu kehidupan adalah penentuan sebuah kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan gravitasinya dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah tanah ialah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara.

Rumus Diferensial

Rumus 1 :
Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real
maka dy/dx = cn xn-1
contoh :
y = 2×4 maka dy/dx = 4.2×4-1 = 8×3

Rumus 2 :
Jika y = f(x) + g(x)
maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f'(x) + g'(x)
contoh:
y = x3 + 2×2 maka y’ = 3×2 + 4x
y = 2×5 + 6 maka y’ = 10×4 + 0 = 10×4

Rumus 3 :
Jika y = c dengan c adalah konstanta
maka dy/dx = 0
contoh:
jika y = 6 maka turunannya yaitu sama dengan nol

Rumus 4 :
Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x)
maka y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
contoh:
y = x2 (x2+2) maka
f(x) = x2
f'(x) = 2x
g(x) = x2+2
g'(x) = 2x
Kemudian masukkan ke rumus y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
y’ = 2x (x2+2) + 2x . x2
y’ = 4×3 + 4x (jawaban ini juga bisa diperoleh dengan cara mengalikan terlebih dahulu lalu menggunakan rumus 2)

Rumus 5 :
ef (x) maka dy/dx = ef(x).f'(x)
contoh :
y = e2x+1
f (x) = 2x+1
f’ (x) = 2
maka f’ = e2x+1 . 2 = 2e2x+1

Rumus 6 :
Turunan Trigonometri Sin

Jika punya y = sin f(x)
maka turunannya yaitu y’ = cos f(x) . f'(x)
contoh :
y = sin(x2 + 1)
maka y’ = cos (x2 +1) . 2x = 2x. cos (x2 +1)

Rumus 7 :
Turunan Trigonometri Cos

Jika punya y = cos f(x)
maka turunanya adalah y’ = -sin f(x). f'(x)
contoh :
y = cos (2x+1)
maka turunannya y’ = -sin (2x+1) . 2 = -2 sin (2x+1)

Rumus Turunan Kedua
rumus turunan kedua sama dengan turunan dari turunan pertama .
Turunan kedua diperoleh dengan cara menurunkan turunan pertama.
Contoh :
Turunan kedua dari x3 + 4×2
turunan pertama = 3×2 + 8x
turunan kedua = 6x + 8

Contoh Soal dan Pembahasan

1.Tentukan persamaan garis singgung kurva y=x₂y=x₂ di titik (−1,1)(−1,1) !

Penyelesaian :

• cari m dulu di x  =−1

m = f′(a)

                      = 2x

m  = 2(−1) = −2

• maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m = −2 di (−1,1)(−1,1) adalah:

y−y₁ = m(x−x₁)

y−1  = 2(x−(−1)) = −2x−2= −2x−1

 

2.Carilah nilai maksimum dan minimum dari y(x) = x2 + 6x + 5 pada interval [ -4,0].

Penyelesaian :

Turunan dari y(x) adalah y’ (x) = 2x + 6

Titik kritis dari y(x) adalah penyelesaian dari persamaan :

y’(x) = 2x + 6 = 0 ( dikali ½)

x + 3 = 0

x = -3

sehingga, nilai yang menghasilkan ekstrim dari y(x) = -4, -3, 0.

y(-4) = (-4)2 + 6 (-4) + 5 = -3

y(-3) = (-3)2 + 6 (-3) + 5 = -4

y(0) = 02 + 6 (0) + 5 = 5

Jadi, nilai maksimum adalah 5 [dicapai pada y(0)] dan nilai minimum adalah -4 [dicapai pada y(-3)].

 

3.Suatu perusahaan farmasi memproduksi suatu jenis obat dengan harga Rp200,- per unit. Jika banyaknya produksi x unit, biaya totalnya 5.000.000+80x+0,003x2, berapa unutkah produk yang harus dijual agar mendapatkan keuntungan maksimum?

Penyelesaian

Pendapatan total = 200x

Biaya total 5.000.000 + 80x + 0,003 x 2

Misalnya keuntungan L9x) = 200x- (5.000.000 + 80x + 0,003 x 2)

Keuntungan akan maksimum jika L’(x) = 0

L’(x)=0 ↔ 120-0,006x = 0

↔ 0,006x = 120

↔x = 20.000

Untuk x=20.000, unit keuntungan yang diperoleh oleh perusahaan farmasi adalah

L(20.000) = 200.20.000-5.000.000+120.(20.000)-0,003.(20.000)2

=4.000.000-5.000.000+2.400.000-0,003.(400.000.000)

=4.000.000-5.000.000+2.400.000-1.200.000

=200.000

Jadi, keuntungan maksimum diperoleh ketika barang produksinya terjual 20.000 unit dan keuntungan maksimum sebesar Rp 200.000,00

 

4. Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s=f(t)=t3-6t²+9t (t dalam detik dan s dalam meter). Tentukan :

a. Kecepatan pada waktu t?

b. Kapan partikel berhenti?

Jawab :

a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi.

    s = f(t) = t³ - 6t² + 9t

    v(t) = 3t² - 12t + 9

b. Partikel berhenti jika v(t)=0

   v(t) = 3t² - 12t + 9 = 0

   ó3t² -12t + 9

   ó3(t²-4t+3)

   ó3(t-1)(t-3)=0

   ó t₁=1 dan t₂=3  Partikel berhenti setelah t = 1 atau t = 3

Baca Juga: Satelit Adalah - Sejarah, Jenis- jenis, Fungsi dan Cara Kerja dari Satelit Secara Lengkap

Penelusuran yang terkait dengan Persamaan Diferensial

• contoh persamaan diferensial
• persamaan diferensial pdf
• persamaan diferensial matematika teknik
• persamaan diferensial linier
• persamaan diferensial biasa
• persamaan diferensial eksak
• persamaan diferensial homogen
• klasifikasi persamaan diferensial