Rumus Peluang Matematika dan Contoh Soal dan Jawabannya Lengkap

Table of Contents

Apa Itu Peluang ?

Peluang dalam matematika adalah cara untuk mengetahui kemungkinan suatu peristiwa. Dalam masalah, harus ada ketidakpastian yang disebabkan oleh tindakan yang terkadang memiliki hasil berbeda.

Anggap itu terjadi dengan koin yang dibuang, hasilnya mungkin muncul di sisi gambar (G) atau sisi nomor (A). Maka halaman yang akan muncul tidak bisa dikatakan benar pasti.

Dengan melempar koin, satu dari dua peristiwa dapat terjadi, yaitu penampilan G atau A.

Baca Juga: Narkoba Adalah - Sejarah Singkat , Jenis-Jenis Narkoba, Bahaya Narkoba, Kelebihan dan Kekurangan dan Bahaya Narkoba

Frekuensi Relatif

Frekuensi adalah perbandingan antara jumlah percobaan yang dilakukan dan jumlah hasil dari peristiwa yang diamati. Kemudian lempar koin dari percobaan sehingga frekuensi relatif dapat dirumuskan sebagai berikut:

Ruang Sampel
Contohnya adalah seperangkat semua peristiwa (hasil) yang dapat terjadi. Ruang sampel ditunjuk S.

• Ruang sampel pada gambar kubus adalah S = (1,2,3,4,5,6)
• Ruang sampel untuk menyimpan koin adalah S = (A, G)
• Tentukan ruang sampel

Dari hasil tes lemparan dua potong, mata uang juga dapat ditentukan menggunakan tabel (daftar) sebagai berikut.

• Berikut ini adalah contohnya, yaitu S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}.
• Event A1, yang dapat berisi dua gambar = (G, G)
• Peristiwa A2 yang tidak dapat memuat gambar = (A, A)

Titik Sampel
Poin sampel adalah anggota ruang sampel

Contoh
Ruang sampel yang terkandung dalam S adalah = ((A, A), (A, G), (G, A), (G, G))
Titik pengambilan sampel adalah = ((A, A), (A, G), (G, A), (G, G))

Rumus Peluang

Probabilitas/Peluang suatu kejadian A terjadi dilambangkan dengan notasi P(A), p(A), atau Pr(A). Sebaliknya, probabilitas [bukan A] atau komplemen A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi, adalah 1-P(A).

Untuk menentukan rumus peluang kejadian menggunakan ruang sampel (biasanya disimbolkan dengan S) dan suatu kejadian. Jika A adalah suatu kejadian atau peristiwa, maka A adalah anggota dari himpunan ruang sampel S. Peluang kejadian A adalah:

P(A) = n(A)/ n(S)

Keterangan:
N(A) = banyak anggota himpunan kejadian A
n(S) = banyak anggota dalam himpunan ruang sampel S

Rumus Peluang Matematika

Dari hasil Percobaan melemparkan mata uang logam hasilnya adalah G atau A. Apabila percobaan dilempar  sampai 10 kali dan muncul G 4 kali maka frekuensi relatif munculnya G itu adalah 4/10. Dan Jika percobaan tersebut dilakukan sampai 10 kali lagi dan muncul G 3 kali sehingga dalam 20 kali percobaam G muncul sebanyak 7 kali maka frekuensi relatif muncul untuk G pada 20 percobaan ialah 7/20. 

1.Peluang Kejadian A atau P(A)
Peluang dari kejadian tersebut  dapat ditentukan dengan cara seperti berikut.
S = {1,2,3,4,5,6} maka nilai dari n(S) = 6
A = {2,3,5} maka nilai dari n(A) = 3
dengan begitu maka peluang dari kejadian A yang jumlah anggotanya dapat dinyatakan dalam n(A) dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

Nilai Peluang

Nilai-nilai peluang yang bisa diperoleh berkisar antara 0 sampai dengan 1. Untuk setiap kejadian A, batas-batas dari nilai P(A) secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.
0 ≤ P (A)  ≤ 1 dengan P(A) adalah peluang suatu kejadian A
Jika nilai P(A) = 0, maka kejadian A ialah kejadian mustahil, maka peluangnya ialah 0.
Contoh :
Matahari terbit dari sebelah selatan adalah kejadian mustahil, maka peluangnya adalah 0.
Jika P(A) = 1, maka kejadian dari A adalah kejadian pasti

1. Frekuensi Harapan

frekuensi harapan merupakan suatu kejadian yaitu harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang telah dilakukan. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut

Frekuensi harapan = P(a) x banyak percobaan

Contoh :
Pada percobaan mengetos sebuah dadu yang telah dilakukan sebanyak 60 kali, maka :
Peluang akan muncul mata 2 = 1/6
Frekuensi harapan akan muncul mata 2 = P (mata 2) x banyak percoban
= 1/6 x 60
= 10 kali
2. Kejadian Majemuk
Kejadian majemuk adalah dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga terbentuklah sebuah kejadian yang baru.
Suatu kejadian K dan kejadian komplemen berupa K’ memenuhi persamaan:
P(K) + P(K’) = 1 atau P(K’) = 1 – P(K)

Penjumlahan Peluang

1. Kejadian Saling Lepas
dua buah kejadian A dan B dapat dikatakan saling lepas apabila tidak ada satupun elemen yang terjadi pada kejadian A yang sama dengan elemen yang terjadi pada kejadian B, maka peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumusnya ialah:

P(A u B) = P(A) + P(B)

2. Kejadian Tidak Saling Lepas
Maksutnya adalah ada elemen A yang sama dengan elemen B, rumusnya dapat dituliskanseperti berikut ini:

P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)

3. Kejadian Bersyarat
kejadian bersyarat dapat terjadi apabila kejadian A dapat mempengaruhi munculnya kejadian B atau sebaliknya. Maka dari itu  dapat dituliskan seperti berikut ini:

P(A n B) = P(A) x P(B/A)

atau

P(A n B) = P(B) x P(A/B)

Karena kejadiannya itu saling berpengaruh,makadapat digunakan rumus:

P(A n B) = P(A) x P(B)

Contoh Soal Dari Peluang

1. Dalam percobaan untuk melempar koin hingga 120x, Anda memiliki peluang untuk muncul hingga 50x. Kemudian tentukan frekuensi relatif yang dihasilkan dari jumlah dan frekuensi relatif yang dengannya gambar ditampilkan:
Jawaban :

• Secara relatif, angka = Banyak angka yang muncul / Banyak percobaan
  = 50/120
  = 5/12

• Tampilan relatif = Banyak gambar muncul / Banyak upaya
  = (120 – 50) / 120
  = 70/120
  = 7/12

2. Dua mata dadu dito bersama. Tentukan peluang acara berikut
a. Peluang untuk muncul dadu 4 mata pertama
b. Peluang untuk mati di 9
Jawaban :
Kami pertama kali membuat ruang sampel untuk menguji dua kubus sebagai berikut.

• Jumlah mata dari die pertama memiliki 4 mata, yang berarti bahwa die kedua dapat memiliki mata 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Lalu adalah peristiwa yang muncul pada kubus 4-mata pertama:
  M = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}
  Kemudian Nyala, P (kubus bermata 4 I) = n (M) / n (S) = 6/36 = 1/6

• Jumlah acara dadu adalah 9:
  N = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}
  Maka seseorang dapat melihat kira-kira nilai yang terkandung dalam P (angka 9) = n (N) / n (S) = 4/36 = 1/9

3. Rafa akan pergi ke rumah neneknya yang berada di desa Jabung, melalui desa Jetis. Jika dari desa Ngasinan ke Jetis terdapat 2 jalan dan dari Jetis ke Jabung terdapat 3 jalan, maka :

• a) ada berapa macam carakah Rafa dapat pergi ke rumah neneknya?
• b) ada berapa carakah perjalanan Rafa dari berangkat hingga pulang kembali?

Jawaban : 

• a) Banyak cara = 2 x 3 = 6 cara
• b) Banyak cara = 2 x 3 x 3 x 2 = 36 cara (jika boleh melewati jalan yang sama ketika pulang) atau Banyak cara = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 cara (jika tidak boleh melewati jalan yang sama)

4. Zahra Akan Melakukan Perjalanan Ke Kota Malang. Jika Dari Ponorogo Ke Surabaya terdapat 2 jalan, Surabaya ke Malang terdapat 3 jalan, atau dari Ponorogo ke Blitar terdapat 4 jalan dan dari Blitar ke Malang terdapat 2 jalan, tentukan banyaknya cara perjalanan Zahra dari Ponorogo ke Malang yang mungkin dilakukan, dengan ketentuan:

• a). Bebas
• b). Perjalanan Pergi Pulang (PP) boleh melewati jalur yang sama.
• c). Perjalanan Pergi Pulang (PP) tanpa melewati jalur yang sama

Jawaban : 

• a). Perjalanan yang mungkin adalah Ponorogo (P) – Surabaya (S) – Malang (M) atau Ponorogo (P) – Blitar (B) – Malang (M). Sehingga, Banyak cara = (2 x 3) + (4 x 2) = 6 + 8 = 14 cara.
• b). Perjalanan yang mungkin adalah PSM-MSP atau PSM-MBP atau PBM-MBP atau PBM-MSP, sehingga Banyak cara = ((2 x 3 x 3 x 2) + (2 x 3 x 2 x 4) + (4 x 2 x 2 x 4) + (4 x 2 x 3 x 2)) = 36 + 48 + 64 + 48 = 196 cara
• c). Perjalanan yang mungkin adalah seperti pada soal b. Hanya saja jalur yang telah dilewati ketika berangkat tidak boleh dilewati ketika pulangnya. Sehingga, Banyak cara = ((2 x 3 x 2 x 1) + (2 x 3 x 2 x 4) + (4 x 2 x 1 x 3) + (4 x 2 x 3 x 2)) = 12 + 48 + 24 + 48 = 132 cara

Kesimpulan 

Jadi jawaban (a) 14 cara, (b) 196 cara, dan (c) 132 cara

5. Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 tentukan banyaknya bilangan (dengan angka yang berbeda) yang dapat dibentuk jika:

• a) Bilangan terdiri dari 4 angka
• b) Bilangan itu habis dibagi 2
• c) Bilangan itu terdiri dari 3 angka dan lebih dari 300
• d) Bilangan itu di antara 1.000 dan 10.000 dan merupakan kelipatan 5

Jawaban : 

• a) Banyak Bilangan = | 5 | 5 | 4 | 3 | = 5 x 5 x 4 x 3 = 300 bilangan
  (digit pertama 0 tidak boleh sehingga ada 5 angka yang mungkin menempati, digit ke-2: angka 0 dan 4 angka sisanya sehingga juga ada 5 angka yang mungkin menempati, digit ke-3: tersisa 4 angka yang mungkin, dan digit terakhir tersisa 3 angka yang mungkin)
• b) Kemungkinan 1 = | 3 | 4 | 3 | 2 | 1 | 2 | = 3 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 = 144 Bilangan (digit terakhir angka 2 atau 4, angka 0 tidak boleh pada digit pertama) Kemungkinan 2 = | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 1 | = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1 = 120 Bilangan (angka 0 pada digit terakhir)

Banyak Bilangan = Kemungkinan 1 + Kemungkinan 2 = 144 + 120 = 264 Bil.

• c) Banyak Bilangan = | 3 | 5 | 4 | = 3 x 5 x 4 = 60 bilangan (digit pertama hanya boleh ditempati angka 3, 4 atau 5. Ada 3 angka)
• d) Kemungkinan 1 = | 5 | 4 | 3 | 1 | = 5 x 4 x 3 x 1 = 60 Bilangan
  (digit terakhir angka 0) Kemungkinan 2 = | 4 | 4 | 3 | 1 | = 4 x 4 x 3 x 1 = 48 Bilangan (angka 5 pada digit terakhir, angka 0 tidak boleh pada digit pertama)

Banyak Bilangan = Kemungkinan 1 + Kemungkinan 2 = 60 + 48 = 128 Bilangan

6. Dari angka 1, 2, 3, …, 9 akan dibuat nomor plat sepeda motor dengan diawali huruf AE dan diakhiri 2 huruf. Jika angka yang di tengah terdiri dari 4 digit, tentukan:

• a) Banyaknya nomor yang mungkin jika angka dan huruf boleh berulang.
• b) Banyaknya nomor yang mungkin jika angka dan huruf tidak boleh berulang.
• c) Banyaknya nomor yang mungkin jika angka saja tidak boleh berulang (berbeda).

Jawaban : 

• a) Banyak Nomor = | 9 | 9 | 9 | 9 | | 26 | 26 | = 9 x 9 x 9 x 9 x 26 x 26 = 4435236
• b) Banyak Nomor = | 9 | 8 | 7 | 6 | | 26 | 25 | = 9 x 8 x 7 x 6 x 26 x 25 = 1965600
• c) Banyak Nomor = | 9 | 8 | 7 | 6 | | 26 | 26 | = 9 x 8 x 7 x 6 x 26 x 26 = 2044224

7. Dari 8 orang calon pengurus yang terdiri dari 3 putra dan 5 putri, akan dipilih 3 orang sebagai Ketua, Sekretaris dan Bendahara. Tentukan banyaknya formasi yang mungkin dalam pemilihan tersebut jika

• a) Bebas
• b) Ketua harus putra

Jawaban : 

• a) Banyak cara = | 8 | 7 | 6 | = 8 x 7 x 6 = 336 cara / macam formasi
  (tempat pertama ada 8 orang yang mungkin menjadi Ketua, setelah ketua terpilih maka ada 7 orang yang mungkin menempati posisi sekretaris, dan terakhir tersisa 6 orang untuk memperebutkan posisi sebagai bendahara)
• b) Banyak cara = | 3 | 7 | 6 | = 3 x 7 x 6 = 126 cara / macam formasi
  (tempat pertama ada 3 orang yang mungkin menjadi Ketua, setelah ketua terpilih maka ada 7 (2 putra dan 5 putri) orang yang mungkin menempati posisi sekretaris, dan terakhir tersisa 6 orang untuk memperebutkan posisi sebagai bendahara)

Contoh Soal7

Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang ketika:

a. Kejadian A munculnya mata dadu dengan angka prima

b. Kejadian munculnya mata dadu dengan jumlah kurang dari 6

Jawab:

Percobaan melempar dadu menghasilkan 6 kemungkinan yaitu munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehinga dapat dituliskan bahwa n (S)= 6

a. Pada pertanyaan munculnya mata dadu prima, yaitu peristiwa angka yang muncul merupakan bilangan prima, yaitu 2, 3, dan 5. Sehingga dapat dituliskan jumlah kejadian n(A) = 3.

Jadi nilai peluang dari kejadian A tersebut adalah sebagai berikut:

P(A) = n(A)/ n(S)

P(A) = 3/6 = 0,5

b. Pada kejadian B, yaitu peristiwa muncul mata dadu dengan jumlah kurang dari 6. Kemungkinan angka yang muncul yaitu 1, 2, 3, 4, dan 5.

Jadi nilai peluang dari kejadian B tersebut adalah sebagai berikut:

P(B) = n(B)/ n(S)

P(A) = 5/6

Contoh Soal 8

Tiga mata uang logam dilempar bersama. Tentukan peluang muncul dua sisi gambar dan satu sisi angka.

Jawab:

Ruang sampel untuk pelemparan 3 mata uang logam:

S = {GGG, GGA, GAG, AGG, AGA, GAA, AAA, AAG}

maka n(S) = 8

*untuk mencari nilai n(S) pada satu kali pelemparan 3 logam uang yaitu dengan n(S) = 2^n (dengan n adalah jumlah mata uang logam, atau jumlah pelemparan)

Kejadian muncul dua mata sisi gambar dan satu sisi angka yaitu:

N(A) {GGA, GAG, AGG},

maka n(A) = 3

Jadi, peluang untuk memperoleh dua sisi gambar dan satu angka adalah berikut:

P(A) = n(A)/ n(S) = 3/8

Baca Juga: Pengertian Determinan Matriks Meliputi Sifat-Sifat, dan Contoh Soal Secara Lengkap

Penelusuran yang terkait dengan Contoh Soal Dari Peluang

• contoh soal peluang dan pembahasannya pdf
• contoh soal peluang kelereng dan pembahasannya
• contoh soal peluang kejadian majemuk
• contoh soal peluang statistika kuliah
• contoh soal peluang kartu bridge
• soal peluang smp
• contoh soal peluang teoritik
• soal peluang sma
• Materi Peluang